Calculus(3) ODE Part

微积分(3)常微分方程部分整理

0 前言

  1. 我烂了

  2. 非数学专业书写,仅供微积分3考试参考,具体的拓展概念可能有错,欢迎交流讨论指正

1 什么是常微分方程 (Ordinary Differential Equation)?

​ 在微积分课程中,我们学到的最后一个章节“微分方程”是被用来解决力学、天文学、物理学等,科学学科的实际问题的. 其中未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程 (Ordinary differential equation),未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程 (Partial differential equation).

​ 其中,我们学习的部分为常微分方程(以下简称ODE),可以被1.1式定义: $$ F(x,\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} ,\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} ,\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d} x^3} ,\cdots,\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d} x^n} )=0\tag{1.1} $$ ​ 其中,$n$称为ODE的阶数 (Order),是一个很重要的概念.

1.1 什么是ODE的通解 (General Solution)?

​ ODE通解(General Solution)的维数应等同于方程阶数,也就是说对于一个二阶ODE,其通解应该有两个自由度 ($C_1$,$C_2$). 与其对应的是特解 (Particular Solution)

​ 需要注意的是,通解不一定指所有解,例如对下微分方程: $$ e^x\mathrm{d}y=y\mathrm{d}x $$ ​ 该方程属于1.2节中最典型的可分离变量的ODE,经过变量分离,微分方程表示为以下形式 $$ \frac{\mathrm{d}x}{e^x}=\frac{\mathrm{d}y}{y} $$ ​ 两边积分得通解:$-e^{-x}=\ln{\left|y\right|}+C$

​ 值得注意的是,在计算过程中我们默认了$y≠0$,但当$y=0$时,可得特解$y^*=C$,但该特解并不包含在上述通解内,此时方程的所有解并不是我们求出的通解.

​ 该特解被称为奇点的解,但我们在计算通解时不需要考虑.

1.2 可分离变量的ODE (Separable variables ODE)

​ 形如1.2式的ODE称为可分离变量的ODE: $$ f(x)\mathrm{d}y=g(y)\mathrm{d}x\tag{1.2} $$ ​ 可以通过变量分离,两遍积分求解: $$ \int{\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}}=\int{\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}}+C $$

2 齐次方程 (Homogeneous ODE)

2.1 齐次性

​ 齐次性描述的是一个函数符合以下性质,我们称这样的函数齐$k$次: $$ f(ax)=a^kf(x)\tag{2.1} $$ ​ 例如:$f(x)=x^2+xy+y^2$,有$f(ax)=a^2(fx)$,为齐二次函数.

2.2 齐次方程的形式

​ 形如2.2式的ODE称为齐次ODE: $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=g(\frac{y}{x}) $$

2.3 齐次方程的解法

​ Step1. 化为一阶可分离变量方程

​ Step2. 设$u=x/y$(比较坏的有$u=y/x$),则有: $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\tag{2.3} $$

3 线性方程 (Linear ODE)

3.1 线性

​ 线性描述的是一个函数符合以下性质: $$ f(ax)=af(x)\tag{3.1} $$

$$ f(x+y)=f(x)+f(y)\tag{3.2} $$

​ 具体见线性代数,有定义线性空间的8个基本性质

Rmk: 线性操作是ODE中很关键的环节,微分算子$\frac{\mathrm{d}-}{\mathrm{d}x}$、欧拉算子$D-$都是符合线性的

3.2 一阶线性方程

3.2.1 一阶线性方程的形式

​ 形如3.3式的ODE称为一阶线性ODE: $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)\tag{3.3} $$ ​ 其中,若$Q(x)\equiv 0$,则称该方程为齐次线性ODE,否则称之为非齐次线性ODE.

3.2.2 一阶齐次线性方程的解法

​ 属于可分离变量的ODE,可以直接记以下公式: $$ y=Ce^{-\int{P(x)\mathrm{d}x}}\tag{3.4} $$

3.2.3 一阶非齐次线性方程的解法

​ 很关键的运用了常数变易法,即先猜测方程的解,带入验证,考试时还是直接记公式: $$ y=e^{-\int{P(x)\mathrm{d}x}}(\int{Q(x)e^{\int{P(x)\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x+C})\tag{3.5} $$

3.3 伯努利方程 (Bernoulli ODE)

3.3.1伯努利方程的形式

​ 形如3.6式的ODE称为伯努利方程: $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n\tag{3.6} $$

3.3.2 伯努利方程的解法

​ Step1. 线性化 $$ y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y^{1-n}P(x)=Q(x) $$ ​ Step2. 凑微分 $$ \frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}y^{1-n}}{\mathrm{d}x}+y^{1-n}P(x)=Q(x) $$ ​ Step3. 换元整理 $$ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+z(1-n)P(x)=(1-n)Q(x) $$ ​ Step4. 当做一阶非齐次线性方程求解

​ Step5. 还元

3.4 可降阶的高阶微分方程

​ 害这不就是大学物理吗.

3.5 高阶线性微分方程解的结构

​ 害这不就是线性代数吗.

3.6 常系数微分方程

3.6.1 常系数微分方程的形式

​ 以二次常系数线性微分方程为例,其他也是一样的: $$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+p\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+qy=f(x)\tag{3.7} $$ ​ 其中,若$f(x)\equiv 0$,则称该方程为齐次的,反之为非齐次的.

3.6.2 常系数齐次微分方程的解法

​ Step.1 写出对应方程的特征方程,以式3.7中方程为例,则为3.8式: $$ r^2+pr+q=0\tag{3.8} $$ ​ Step.2 根据解的情况,其通解形式也不同:

特征方程根的情况齐次微分方程的通解
$\Delta>0$,不等实根 $r1,r2$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$\Delta=0$,二重实根 $r$$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
$\Delta<0$,共轭虚根 $\lambda \pm \omega i$$y=e^{\lambda x}(C_1\cos{\omega x}+C_2\sin{\omega x})$

3.6.3 常系数非齐次微分方程的解法

​ 首先,解出对应齐次方程的通解$y_g$,再用常数变易法求特解

​ 其中,我们能够解决的只对应两种情况,即为3.7式中$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$ 或 $f(x)=P_n(x)e^{(\lambda+\omega i) x}$,

​ 公式理解比较麻烦,建议直接看例题.

3.7 欧拉方程(Euler Equation)

​ 以二阶为例,形如3.9式的方程称为欧拉方程: $$ x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+xp\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+qy=f(x)\tag{3.8} $$ ​ 设$x=e^t$,并引入欧拉算子$\mathrm{D}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$

​ 则原方程可化为: $$ \mathrm{D}^2y+p\mathrm{D}y+qy=g(t) $$ ​ 然后按照3.6.3继续求解即可

4 全微分方程(Totol Differential Equation)

4.1 全微分方程的条件

​ 对方程$P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y=0$,若满足$\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial P}{\partial y}$,则称该方程为全微分方程.

4.2 全微分方程的解法

4.2.1 公式法

​ 公式如4.1式,注意$(x_0,y_0)$的选取,一定在函数的定义域内: $$ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}{P(x,y)\mathrm{d}x}+\int_{y_0}^{y}{Q(x_0,y)\mathrm{d}y}\tag{4.1} $$

4.2.2 偏积分法

​ 和常数变易法类似,用不太到,算咯.

4.2.3 烧香拜佛法

​ 随缘凑微分,没什么好讲的.

4.3 积分因子

​ 取一个神秘的$\mu(x,y)$使得$\mu(x,y)P(x,y)\mathrm{d}x+\mu(x,y)Q(x,y)\mathrm{d}y=0$变成全微分方程.

​ 随缘凑微分,没什么好讲的.

Luminol Chen
Luminol Chen
2024 Undergraduate in Cyberspace Security

My research interests include cryptography and blochchain.